Lattina cilindrica di superficie minima

Testo

Una lattina cilindrica deve contenere $1$ litro $=1000\ \text{cm}^3$. Determina raggio e altezza che minimizzano la superficie totale (comprese le due basi).

Soluzione

Volume: $\pi r^{2}h=1000\Rightarrow h=\dfrac{1000}{\pi r^{2}}$. Superficie: $S(r)=2\pi r^{2}+2\pi r h=2\pi r^{2}+\dfrac{2000}{r}$. $S'(r)=4\pi r-\dfrac{2000}{r^{2}}=0\Rightarrow r^{3}=\dfrac{500}{\pi}\Rightarrow r=\sqrt[3]{\tfrac{500}{\pi}}\approx5{,}42\text{ cm}$. Allora $h=\dfrac{1000}{\pi r^{2}}\approx10{,}84\text{ cm}$ (si nota $h=2r$). $\boxed{r\approx5{,}42\ \text{cm};\quad h\approx10{,}84\ \text{cm}}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Massimo minimo · Punto stazionario
Competenze: Derivare · Ottimizzare
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione