Recinto rettangolare lungo un fiume

Testo

Si vuole recintare un terreno rettangolare disponendo di $120\text{ m}$ di rete; uno dei lati è delimitato da un fiume e non richiede recinzione. Quali dimensioni rendono massima l’area recintata?

Soluzione

Siano $x$ i due lati perpendicolari al fiume e $y$ il lato parallelo. Vincolo: $2x+y=120$, cioè $y=120-2x$. Area: $A(x)=x(120-2x)=120x-2x^{2}$; $A'(x)=120-4x=0\Rightarrow x=30$, quindi $y=60$. $A''<0$: massimo. $A=30\cdot60=1800\text{ m}^2$. $\boxed{x=30\ \text{m},\ y=60\ \text{m},\ A_{\max}=1800\ \text{m}^2}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Massimo minimo · Punto stazionario
Competenze: Derivare · Ottimizzare
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione