Ricavo marginale e ricavo massimo

Testo

Se il prezzo a cui si vendono $x$ unità di un prodotto è $p(x)=50-0{,}1x$ (euro), il ricavo è $R(x)=x\,p(x)$. Calcola il ricavo marginale $R'(x)$ per $x=100$ e determina la quantità che rende massimo il ricavo, con il ricavo corrispondente.

Soluzione

$R(x)=x(50-0{,}1x)=50x-0{,}1x^{2}$, quindi $R'(x)=50-0{,}2x$. Ricavo marginale in $x=100$: $R'(100)=50-20=30$ euro/unità. Massimo: $R'(x)=0\Rightarrow x=250$; $R(250)=50\cdot250-0{,}1\cdot250^{2}=12500-6250=6250$ euro. $\boxed{R'(100)=30;\quad x_{\max}=250;\quad R_{\max}=6250\ \text{euro}}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Massimo minimo · Punto stazionario
Competenze: Derivare · Ottimizzare
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione