Rettangolo di area massima con perimetro assegnato

Testo

Un filo lungo $40$ cm viene piegato a formare un rettangolo. Quali dimensioni ne rendono massima l’area, e quanto vale l’area massima?

Soluzione

Semiperimetro $20$ cm: se un lato è $x$, l’altro è $20-x$, con $x\in(0,20)$. Area $A(x)=x(20-x)=20x-x^{2}.$ $A'(x)=20-2x=0\Rightarrow x=10$; poiché $A''=-2<0$ è un massimo. Il rettangolo è il quadrato $10\times10$, con $A=100\ \mathrm{cm}^{2}$. $\boxed{x=10\ \mathrm{cm}\ (\text{quadrato}),\qquad A_{max}=100\ \mathrm{cm}^{2}}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Funzione obiettivo · Massimo minimo · Punto stazionario
Competenze: Derivare · Ottimizzare
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione