Derivata di una catena di tre funzioni

Testo

Sia $z=2x^{3}$, $v=\dfrac{5}{z^{2}}$ e $y=\sqrt{1+v}$. Calcola $\dfrac{dy}{dx}$ esprimendola in funzione di $x$.

Soluzione

Regola della catena a tre fattori $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dv}\cdot\dfrac{dv}{dz}\cdot\dfrac{dz}{dx}$. $\frac{dy}{dv}=\frac{1}{2\sqrt{1+v}},\qquad \frac{dv}{dz}=-\frac{10}{z^{3}},\qquad \frac{dz}{dx}=6x^{2}.$ Con $z=2x^{3}$ si ha $z^{3}=8x^{9}$, dunque $\dfrac{dv}{dz}=-\dfrac{10}{8x^{9}}=-\dfrac{5}{4x^{9}}$ e $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{1+v}}\cdot\left(-\frac{5}{4x^{9}}\right)\cdot 6x^{2}=-\frac{15}{4x^{7}\sqrt{1+v}}.$ Poiché $v=\dfrac{5}{z^{2}}=\dfrac{5}{4x^{6}}$, si ha $\sqrt{1+v}=\dfrac{\sqrt{4x^{6}+5}}{2x^{3}}$, quindi $\frac{dy}{dx}=-\frac{15}{4x^{7}}\cdot\frac{2x^{3}}{\sqrt{4x^{6}+5}}=-\frac{15}{2x^{4}\sqrt{4x^{6}+5}}.$ $\boxed{\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{15}{2x^{4}\sqrt{4x^{6}+5}}}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Derivata composta · Funzione composta · Regola della catena
Competenze: Derivare
Tipo di esercizio: Calcolo derivata