Rettangolo di area massima in un triangolo rettangolo

Testo

Il triangolo $ABC$ è rettangolo in $B$, con ipotenusa $\overline{AC}=5$ e cateto $\overline{AB}=4$. Si inscrive un rettangolo $MNPQ$ con $M,N$ sull’ipotenusa $AC$, $P$ su $BC$ e $Q$ su $AB$. (a) Determina il cateto mancante, gli angoli del triangolo e l’altezza relativa all’ipotenusa. (b) Ricava la relazione tra la base e l’altezza del rettangolo. (c) Trova le dimensioni del rettangolo di area massima e dimostra che tale area vale $3$.

Soluzione

(a) Per il teorema di Pitagora $\overline{BC}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$ (terna pitagorica $3$-$4$-$5$). Angoli: $\cos A=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac45\Rightarrow A\approx 36.87^\circ$, quindi $C\approx 53.13^\circ$ e $B=90^\circ$. Altezza relativa all’ipotenusa: $h=\dfrac{\overline{AB}\cdot\overline{BC}}{\overline{AC}}=\dfrac{4\cdot3}{5}=\dfrac{12}{5}=2.4$.

(b) Sia $y$ l’altezza del rettangolo, misurata dall’ipotenusa verso il vertice $B$, e $b$ la sua base su $AC$. Il triangolo staccato sopra il rettangolo è simile ad $ABC$: quando $y$ va da $0$ a $h$ la base passa da $\overline{AC}$ a $0$, dunque $b=\overline{AC}\left(1-\frac{y}{h}\right)=5\left(1-\frac{y}{2.4}\right).$

(c) Area in funzione di $y$: $A(y)=b\,y=5y\left(1-\frac{y}{2.4}\right)=5y-\frac{5y^2}{2.4}.$ Derivando e annullando: $A'(y)=5-\frac{10y}{2.4}=0\ \Rightarrow\ y=1.2=\frac h2.$ Poiché $A''(y)=-\dfrac{10}{2.4}<0$, si tratta di un massimo. Allora $b=5\left(1-\frac{1.2}{2.4}\right)=2.5=\frac{\overline{AC}}{2},\qquad A_{max}=2.5\cdot1.2=3.$ $\boxed{\;b=2.5,\quad y=1.2,\quad A_{max}=3\;}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Punto stazionario
Competenze: Derivare · Ottimizzare
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione