Maclaurin di tan x

Testo

Scrivere lo sviluppo di Maclaurin di $\tan x$ fino al termine in $x^3$ (suggerimento: $\tan x = \sin x/\cos x$ e divisione lunga delle serie).

Soluzione

Uso gli sviluppi $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^4)$ e $\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + o(x^3)$. Allora $\tan x = \frac{x - x^3/6 + o(x^4)}{1 - x^2/2 + o(x^3)} = \Bigl(x - \frac{x^3}{6}\Bigr)\Bigl(1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\Bigr) + o(x^3),$ avendo usato $\dfrac{1}{1-u} = 1+u+o(u)$ con $u=x^2/2$. Sviluppando il prodotto e tenendo i termini fino a $x^3$: $\tan x = x + \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + o(x^3) = \boxed{x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)}.$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Polinomio di maclaurin · Sviluppo notevole
Funzioni: Tangente
Metodi: Taylor polinomio
Competenze: Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo derivata