Distanza minima da un punto a una parabola

Testo

Determina la minima distanza tra il punto $P(3,0)$ e la parabola $y=x^{2}$.

Soluzione

Un punto della parabola è $(x,x^{2})$; distanza al quadrato $D(x)=(x-3)^{2}+x^{4}=x^{4}+x^{2}-6x+9$. $D'(x)=4x^{3}+2x-6$; per $x=1$: $4+2-6=0$. Poiché $D''(x)=12x^{2}+2>0$ è un minimo. Punto più vicino $(1,1)$; $D(1)=(1-3)^{2}+1=5$, quindi $d=\sqrt5\approx2{,}236$. $\boxed{x=1,\ (1,1);\quad d_{\min}=\sqrt5\approx2{,}236}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Massimo minimo · Punto stazionario
Competenze: Derivare · Ottimizzare
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione