Lattina cilindrica a superficie minima

Terzo problema-tipo: a volume fissato, la lattina cilindrica di superficie minima ha altezza uguale al diametro.

Esempio — Lattina cilindrica a superficie minima

Una lattina di forma cilindrica deve contenere un volume $V$ assegnato. Trovare le dimensioni $(r,h)$ che minimizzano la superficie totale (parete + due basi).

Soluzione

Vincolo: $\pi r^2 h = V \Rightarrow h = V/(\pi r^2)$.

Superficie totale: $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$, con $r>0$. $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0 \iff 4\pi r^3 = 2V \iff r^3 = \frac{V}{2\pi}.$ Sostituendo: $h=V/(\pi r^2) = 2r$. La lattina ottimale ha altezza pari al diametro ($\boxed{h=2r}$). È la geometria della lattina “ideale”; le vere lattine commerciali sono in genere un po’ più alte perché c’è anche un costo di chiusura ai bordi.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Funzione obiettivo · Massimo minimo
Metodi: Massimo minimo derivata
Competenze: Derivare · Modellizzare