Applicazioni di Taylor — limiti e infinitesimi

L’uso più frequente di Taylor in Quinta è il calcolo dei limiti indeterminati: sostituendo una funzione con il suo sviluppo, la forma indeterminata si risolve in un solo passaggio.

Esempio — Limite tramite Taylor: $\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}$

Sostituendo lo sviluppo $\sin x = x - x^3/6 + o(x^4)$: $\frac{x-\sin x}{x^3} = \frac{x - \bigl(x - x^3/6 + o(x^4)\bigr)}{x^3} = \frac{x^3/6 + o(x^4)}{x^3} = \frac{1}{6} + o(x) \xrightarrow{x\to 0} \boxed{\frac{1}{6}}.$ Stesso risultato di tre applicazioni di De L’Hôpital, ma con un solo passaggio.

Esempio — Ordine di infinitesimo

Per $x\to 0$, $f(x) = 1 - \cos x$ ha ordine di infinitesimo $2$ rispetto a $x$: dallo sviluppo $\cos x = 1 - x^2/2 + o(x^3)$ segue $1 - \cos x = x^2/2 + o(x^3)$, cioè $1 - \cos x \sim x^2/2$.

Analogamente $\sin x \sim x$ (ordine $1$), $e^x - 1 \sim x$ (ordine $1$), $\ln(1+x) \sim x$ (ordine $1$).

Esempio — Parabola osculatrice di $f(x) = \cos x$ in $x_0 = 0$

$f(0) = 1$, $f'(0) = 0$, $f''(0) = -1$. Polinomio di Taylor di ordine $2$: $T_2(x) = 1 + 0\cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 = 1 - \frac{x^2}{2}.$ È la parabola che meglio approssima $\cos x$ vicino a zero. Per $x = 0{,}1$ rad: $\cos(0{,}1)\approx 0{,}9950$, $T_2(0{,}1) = 1 - 0{,}005 = 0{,}995$: coincidenza nelle prime $4$ cifre.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Ordine di infinitesimo · Parabola osculatrice · Polinomio di taylor · Sviluppo notevole
Metodi: Limiti via taylor
Competenze: Calcolare limiti · Stimare