Derivate successive

Per costruire il polinomio di Taylor servono le derivate di ordine superiore: la derivata seconda, terza, e in generale la derivata $n$-esima.

Definizione — Derivata $n$-esima

La derivata seconda di $f$ è la derivata della derivata: $f''(x) = (f'(x))'$. Più in generale, la derivata $n$-esima si ottiene derivando $n$ volte: $f^{(n)}(x)$. Per convenzione $f^{(0)}(x) = f(x)$.

Esempio — Derivate successive di $e^x$ e $\sin x$

Sia $f(x) = e^x$. $f'(x) = e^x$, $f''(x) = e^x$, …, $f^{(n)}(x) = e^x$ per ogni $n$.

Sia $f(x) = \sin x$. $f'(x) = \cos x$, $f''(x) = -\sin x$, $f'''(x) = -\cos x$, $f^{(4)}(x) = \sin x$, e poi si ripete (ciclo di periodo $4$).

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Derivata successiva
Competenze: Derivare