Flesso a tangente verticale

Il terzo caso: le derivate laterali sono entrambe infinite, ma con lo stesso segno. La tangente esiste ed è unica, ma verticale — perciò non ha coefficiente angolare finito.

Definizione — Flesso a tangente verticale

$x_0$ è un flesso a tangente verticale di $f$ se entrambe le derivate laterali tendono a $\pm\infty$ con lo stesso segno: $f'_\pm(x_0) = +\infty$ oppure $f'_\pm(x_0) = -\infty$. La tangente esiste, è unica, ma è verticale (coefficiente angolare infinito).

Esempio — $f(x) = \sqrt[3]{x}$ in $x_0 = 0$

$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$. Sia per $x\to 0^-$ sia per $x\to 0^+$, $\sqrt[3]{x^2}\to 0^+$, quindi $f'_\pm(0) = +\infty$. Entrambe positive: flesso a tangente verticale (la curva attraversa l’asse $y$ avendo come tangente l’asse $y$ stesso).

In $x_0=0$ la tangente di $\sqrt[3]{x}$ è unica e verticale (coincide con l’asse $y$).

Attenzione — Continuità obbligatoria

La classificazione presuppone che $f$ sia continua in $x_0$. Se la funzione ha un salto (discontinuità di prima specie) in $x_0$, non si parla di derivabilità in $x_0$: la non derivabilità è già una conseguenza della discontinuità.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata laterale · Punto non derivabile · Tangente verticale
Metodi: Punto non derivab tangente verticale
Competenze: Calcolare limiti