Cuspide

Nella cuspide le derivate laterali diventano infinite, con segni opposti: il grafico ha due semitangenti verticali che “puntano” in versi contrari.

Definizione — Cuspide

$x_0$ è una cuspide di $f$ se entrambe le derivate laterali tendono a $\pm\infty$ con segni opposti: tipicamente $f'_-(x_0) = -\infty$ e $f'_+(x_0) = +\infty$ (cuspide “verso il basso”) o viceversa.

Esempio — $f(x) = \sqrt{|x|}$ in $x_0 = 0$

Per $x > 0$: $f(x) = \sqrt{x}$, $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\to +\infty$ per $x\to 0^+$. Per $x < 0$: $f(x) = \sqrt{-x}$, $f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{-x}}\to -\infty$ per $x\to 0^-$. Le derivate laterali sono infinite e di segno opposto: cuspide rivolta verso il basso in $(0,0)$.

In $x_0=0$ le due semitangenti sono verticali e di verso opposto: la cuspide di $\sqrt{|x|}$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Cuspide · Derivata laterale · Punto non derivabile
Metodi: Punto non derivab cuspide
Competenze: Calcolare limiti