Il metodo del diagramma a cerchi

Questo è il cuore del capitolo: il metodo con cui calcolare la derivata di una composizione di funzioni, come $\sin(x^2)$, $e^{\sqrt{x}}$, $\arctan(1/x)$. Il metodo si basa su tre idee:

1. Rappresentare la composizione con un diagramma a cerchi;
2. Calcolare le derivate dei singoli “anelli” della catena usando simboli geometrici come segnaposto;
3. Moltiplicare le derivate parziali e sostituire i simboli con le espressioni reali.

Data una funzione composta, la si “scompone” in una catena di operazioni semplici. Ogni operazione è una freccia tra due cerchi: il cerchio di partenza contiene l’input, quello di arrivo il risultato. I simboli geometrici $\square$, $\triangle$ (e se servono $\bigcirc$, $\diamondsuit$…) indicano il contenuto del cerchio corrente senza scriverne esplicitamente l’espressione.

Esempio — Diagramma per $\sin(x^2)$

Diagramma a cerchi della composizione $x \to x^2 \to \sin(x^2)$: sopra ogni freccia la funzione applicata (col simbolo geometrico), sotto la sua derivata rispetto al simbolo.

Come si legge il diagramma:

• I cerchi contengono le espressioni reali: $x$, poi $x^2$, poi $\sin(x^2)$.
• Sopra ogni freccia: la funzione applicata, scritta con il simbolo geometrico $\square$ o $\triangle$ al posto dell’argomento. Qui "$\square^2$" significa “eleva al quadrato $\square$” (dove $\square = x$); "$\sin(\triangle)$" significa “prendi il seno di $\triangle$” (dove $\triangle = x^2$).
• Sotto ogni freccia (in rosso): la derivata di quella funzione rispetto al suo simbolo geometrico. Qui la derivata di $\square^2$ è $2\square$; la derivata di $\sin\triangle$ è $\cos\triangle$.

Risultato: la regola della catena è il prodotto dei “sotto-freccia”, poi si sostituiscono i simboli con le espressioni reali: $D[\sin(x^2)] = \underbrace{2\square}_{\square=x} \cdot \underbrace{\cos\triangle}_{\triangle=x^2} = 2x\cdot\cos(x^2).$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata composta · Regola della catena · Regole di derivazione
Competenze: Derivare · Usare formule