Il differenziale

Il differenziale traduce in oggetto autonomo l’idea di “variazione infinitesima lungo la tangente”: è lo strumento con cui si approssima $f$ vicino a un punto e con cui la notazione $\frac{df}{dx}$ acquista un senso preciso.

Definizione — Il differenziale

Il differenziale di $f$ nel punto $x$ con incremento $dx$ è: $df = f'(x)\cdot dx.$ Qui $dx$ è un incremento infinitesimo della variabile indipendente (è lo stesso $\Delta x$ nel limite $\Delta x\to 0$, ma scritto con la “d” per indicare che siamo già passati al limite). Il differenziale $df$ è la variazione approssimata di $f$ lungo la tangente.

Osservazione — Perché la notazione $\frac{df}{dx}$ ha senso

Se si divide il differenziale $df = f'(x)\cdot dx$ per $dx$, si ottiene $\frac{df}{dx} = f'(x)$. Ecco perché la derivata si può “leggere” come un rapporto tra il differenziale della funzione e il differenziale della variabile: non è un abuso di notazione ma una proprietà genuina dei differenziali.

Osservazione — Il differenziale come approssimazione

Geometricamente, $df$ è lo spostamento verticale lungo la retta tangente quando ci si muove di $dx$ in orizzontale. La funzione vera si sposta di $\Delta f = f(x+dx)-f(x)$, un po’ diverso da $df$ (la differenza è un “errore” di ordine $dx^2$). Ma per $dx$ piccoli, $df\approx\Delta f$ è un’ottima approssimazione.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Differenziale · Notazione di leibniz
Competenze: Stimare