Zero di x³−3x+1 con bisezione

Testo

Mostrare che $x^3-3x+1=0$ ha almeno una soluzione in $[0,1]$ e approssimarla con 4 passi di bisezione.

Soluzione

Sia $f(x)=x^3-3x+1$, funzione continua (polinomio). Agli estremi: $f(0)=1>0, \qquad f(1)=1-3+1=-1<0.$ Poiché $f(0)\cdot f(1)<0$, per il teorema degli zeri esiste almeno un $c\in(0,1)$ con $f(c)=0$.

Bisezione a partire da $[0,1]$ (si tiene l’intervallo agli estremi del quale $f$ cambia segno):

Passo	$a$	$b$	$m$	$f(m)$	zero in
1	$0$	$1$	$0{,}5$	$-0{,}375<0$	$[0;\,0{,}5]$
2	$0$	$0{,}5$	$0{,}25$	$+0{,}266>0$	$[0{,}25;\,0{,}5]$
3	$0{,}25$	$0{,}5$	$0{,}375$	$-0{,}072<0$	$[0{,}25;\,0{,}375]$
4	$0{,}25$	$0{,}375$	$0{,}3125$	$+0{,}093>0$	$[0{,}3125;\,0{,}375]$

Dopo 4 passi lo zero è nell’intervallo $[0{,}3125;\ 0{,}375]$, di ampiezza $0{,}0625$: valore approssimato $\boxed{x\approx 0{,}34}$, con errore $<0{,}0313$. (Il valore esatto è $\approx 0{,}347$.)

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Algoritmo di bisezione · Teorema degli zeri
Competenze: Dimostrare · Stimare
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni