Raccordo continuo e liscio di parabola e logaritmo

Testo

Sia data la funzione $f(x)=\begin{cases}-x^2-x+1 & x<2\\[4pt] a\ln(bx) & x\ge2\end{cases}$ (a) Determina $a$ e $b$ affinché il raccordo in $x=2$ sia continuo e liscio. (b) Con quei valori, studia massimi e minimi relativi e assoluti e i limiti agli estremi del dominio.

Soluzione

(a) Raccordo continuo e liscio in $x=2$. Derivabilità: a sinistra $f'(x)=-2x-1\Rightarrow f'(2^-)=-5$; a destra $f'(x)=\dfrac{a}{x}\Rightarrow f'(2^+)=\dfrac{a}{2}$. Imponendo l’uguaglianza: $\frac{a}{2}=-5\Rightarrow a=-10.$ Continuità: da sinistra $f(2^-)=-4-2+1=-5$; da destra $f(2^+)=a\ln(2b)=-10\ln(2b)$. Imponendo $-10\ln(2b)=-5$: $\ln(2b)=\tfrac12\Rightarrow 2b=\sqrt e\Rightarrow b=\frac{\sqrt e}{2}\approx0.8244.$

(b) Massimi/minimi e limiti. Ramo sinistro: parabola con vertice in $x=-\tfrac12$, valore $f\!\left(-\tfrac12\right)=\tfrac54$ (massimo); in $x=2$ vale $-5$. Ramo destro: $a\ln(bx)=-10\ln(bx)$ è decrescente (coefficiente $a<0$) e tende a $-\infty$. Limiti: $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f=-\infty$; $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(-10\ln(bx)\big)=-\infty$. Quindi massimo assoluto $f=\tfrac54$ in $x=-\tfrac12$; nessun minimo (l’estremo inferiore è $-\infty$). $\boxed{a=-10,\quad b=\frac{\sqrt e}{2}\approx0.8244,\quad f_{max}=\tfrac54}$

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Continuita · Derivabilita · Funzione definita a tratti
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Risoluzione sistema