Raccordo continuo e liscio di parabola ed esponenziale

Testo

Sia data la funzione $f(x)=\begin{cases}-x^2-x+1 & x<0\\[4pt] a\,e^{bx} & x\ge0\end{cases}$ (a) Determina $a$ e $b$ affinché il raccordo in $x=0$ sia continuo e liscio (cioè derivabile). (b) Con quei valori, studia massimi e minimi relativi e assoluti e i limiti agli estremi del dominio. (c) Trova l’eventuale flesso. (d) Traccia il grafico. (e) Poni ora $a=1$ e $b=1$ (NON i valori trovati): studia massimi e minimi relativi e assoluti, e gli estremi (sup/inf). (f) Trova l’eventuale flesso. (g) Traccia il grafico. (h) Determina l’inclinazione in gradi della tangente subito prima e subito dopo il punto di raccordo.

Soluzione

(a) Raccordo continuo e liscio in $x=0$. Continuità: da sinistra $f(0^-)=-0-0+1=1$; da destra $f(0^+)=a\,e^{0}=a$. Quindi $a=1.$ Derivabilità: a sinistra $f'(x)=-2x-1\Rightarrow f'(0^-)=-1$; a destra $f'(x)=ab\,e^{bx}\Rightarrow f'(0^+)=ab=b$. Imponendo $b=-1$: $a=1,\qquad b=-1,\qquad f(x)=\begin{cases}-x^2-x+1 & x<0\\ e^{-x} & x\ge0.\end{cases}$

(b) Massimi/minimi e limiti. Ramo sinistro: parabola con vertice in $x=-\tfrac12$, valore $f\!\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac14+\tfrac12+1=\tfrac54$; poi decresce. Ramo destro: $e^{-x}$ decresce da $1$ (in $x=0$) verso $0^+$. Limiti: $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f=-\infty$; $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0^+$. Quindi massimo assoluto $f=\tfrac54$ in $x=-\tfrac12$; nessun minimo (l’estremo inferiore è $-\infty$).

(c) Flesso. $f''=-2$ a sinistra, $f''=e^{-x}>0$ a destra; la funzione è $C^1$ in $x=0$ e la concavità cambia da giù a su: flesso in $x=0$, $f(0)=1$.

(d) Grafico. Parabola discendente a sinistra fino a $(0,1)$, raccordata senza spigolo all’esponenziale decrescente $e^{-x}$ che tende a $0^+$.

(e) Con $a=1,\ b=1$: $f(x)=\begin{cases}-x^2-x+1 & x<0\\ e^{x} & x\ge0\end{cases}$. Continua in $0$ (entrambi i rami valgono $1$) ma con punto angoloso (pendenze $-1$ e $+1$). Massimo relativo $f=\tfrac54$ in $x=-\tfrac12$; minimo relativo (angoloso) in $x=0$ con $f(0)=1$. Ramo destro $e^{x}\to+\infty$: $\sup f=+\infty$ (nessun massimo assoluto); ramo sinistro $\to-\infty$: $\inf f=-\infty$.

(f) Flesso (caso e). Nessun flesso: in $x=0$ la funzione non è derivabile (spigolo).

(g) Grafico (caso e). Stessa parabola a sinistra, ma a destra un esponenziale crescente $e^{x}$; in $(0,1)$ compare uno spigolo.

(h) Inclinazione della tangente al raccordo. Caso liscio: prima e dopo la pendenza è $-1\Rightarrow \theta=\arctan(-1)=-45^\circ$ (nessun cambio). Caso $a=b=1$: prima $-1\Rightarrow -45^\circ$, dopo $+1\Rightarrow +45^\circ$. $\boxed{a=1,\ b=-1;\quad f_{max}=\tfrac54;\quad \theta_-=-45^\circ,\ \theta_+=+45^\circ\ (\text{caso }a=b=1)}$

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Continuita · Derivabilita · Flesso · Funzione definita a tratti
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Risoluzione sistema