Determinare i parametri per la continuità

Quando una funzione a tratti contiene dei parametri, imporre la continuità (ed eventualmente la derivabilità) nel punto di giunzione fornisce le equazioni che li determinano.

Esempio — Determinare i parametri per la continuità

Sia $f(x) = \begin{cases} x^2+bx & x<2 \\ \ln(2x+a) & x\ge 2\end{cases}$ Trovare $a,b$ affinché $f$ sia continua e derivabile in $x=2$.

Continuità: $\lim_{x\to 2^-}(x^2+bx) = 4+2b$; $\ f(2) = \ln(4+a)$. Serve: $4+2b = \ln(4+a).$

Derivabilità: $f'(x) = \begin{cases}2x+b & x<2 \\ \dfrac{2}{2x+a} & x\ge 2\end{cases}$. Il limite sinistro della derivata è $4+b$, quello destro è $\dfrac{2}{4+a}$. Serve: $4+b = \frac{2}{4+a}, \qquad\text{da cui}\qquad 4+a = \frac{2}{4+b}.$

Sostituendo nella prima condizione: $4+2b = \ln\!\left(\frac{2}{4+b}\right).$ È un’equazione trascendente: si risolve numericamente (o per tentativi), non con metodi algebrici elementari.

L’esempio mostra un punto importante: continuità e derivabilità danno due condizioni distinte. La continuità lega i valori delle due formule; la derivabilità lega le loro pendenze. Insieme costituiscono un sistema che, in generale, può anche essere trascendente.

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Continuita · Derivabilita · Funzione definita a tratti
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni