Esempi di classificazione

Vediamo due casi concreti: un salto (prima specie) e una discontinuità eliminabile (terza specie).

Esempio — Discontinuità di prima specie (salto)

Sia $f(x) = \begin{cases} x^2 & x<1 \\ 3 & x=1 \\ 2x & x>1\end{cases}$ Allora $\lim_{x\to 1^-}x^2 = 1$; $\lim_{x\to 1^+}2x = 2$; $f(1) = 3$.

I limiti laterali sono finiti ma diversi ($1\ne 2$): si tratta di una discontinuità di prima specie (salto di ampiezza $|2-1|=1$). Il valore $f(1)=3$ è irrilevante per la classificazione: ciò che conta sono i limiti.

Esempio — Discontinuità eliminabile (terza specie)

Sia $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ per $x\ne 0$, non definita in $x=0$. Per il limite notevole $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1,$ il limite esiste ed è finito, ma il punto $x=0$ non appartiene al dominio: la discontinuità è eliminabile (terza specie). Basta porre $f(0)=1$ per rendere la funzione continua.

Il confronto è istruttivo: nel primo caso il limite in $x_0$ non esiste (i due laterali differiscono), quindi la discontinuità è insanabile; nel secondo il limite esiste, e proprio per questo si può “riparare” la funzione ridefinendola nel punto.

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Discontinuita prima specie · Discontinuita terza specie · Limite notevole
Competenze: Calcolare limiti · Ragionare per casi