Esponenziale su seno

Testo

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\sin(3x)}$.

Soluzione

Forma $0/0$. Usiamo le funzioni equivalenti per $x\to 0$: $e^{\square}-1\sim\square$ con $\square=2x$, e $\sin(\square)\sim\square$ con $\square=3x$. Quindi $\frac{e^{2x}-1}{\sin(3x)} \sim \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}.$ Perciò $\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\sin(3x)} = \boxed{\frac{2}{3}}.$ (Equivalentemente, moltiplicando e dividendo per $2x$ e $3x$ per far comparire i limiti notevoli $\frac{e^{2x}-1}{2x}\to 1$ e $\frac{\sin 3x}{3x}\to 1$.)

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Funzioni equivalenti · Limiti notevoli
Competenze: Calcolare limiti
Tipo di esercizio: Calcolo limite