Limiti con la forza bruta (recupero)

Testo

Calcola i seguenti limiti con il metodo della forza bruta (tabella di valori):

(a) $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}$

(b) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$

(c) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{\sin(3x)}$

Soluzione

(a) Tabella di valori:

$x$	$3{,}1$	$3{,}01$	$2{,}99$
$(x^2-9)/(x-3)$	$6{,}1$	$6{,}01$	$5{,}99$

I valori convergono a $6$: infatti, per $x\neq3$, $\dfrac{x^2-9}{x-3}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\to6$.

(b) Tabella di valori:

$x$	$10$	$100$	$1000$
$\sqrt{x^2+1}/x$	$1{,}005$	$1{,}00005$	$1{,}0000005$

I valori tendono a $1$ dall’alto: il limite è $1^+$.

(c) Tabella di valori:

$x$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$
$\sin(5x)/\sin(3x)$	$1{,}622$	$1{,}666$	$1{,}6666$

I valori si stabilizzano su $\dfrac53$, coerentemente con $\dfrac{\sin(5x)}{\sin(3x)}=\dfrac{5x}{3x}\cdot\dfrac{\sin(5x)/(5x)}{\sin(3x)/(3x)}\to\dfrac53$.

$\boxed{6;\ 1;\ \tfrac53}$

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Limiti notevoli
Metodi: Tabella di valori
Competenze: Calcolare limiti
Tipo di esercizio: Calcolo limite