Disegnare una funzione dati gli asintoti

Testo

Disegna una funzione $h(x)$ con i seguenti asintoti:

• (a) asintoto verticale in $x=2$;
• (b) asintoto orizzontale $y=-1$ (per $x\to-\infty$);
• (c) asintoto obliquo $y=x+3$ (per $x\to+\infty$).

Soluzione

Il grafico deve avere tre comportamenti asintotici distinti:

• vicino a $x=2$ la curva diverge (a $+\infty$ o $-\infty$): asintoto verticale $x=2$;
• per $x\to-\infty$ si appiattisce sulla retta orizzontale $y=-1$;
• per $x\to+\infty$ si affianca alla retta $y=x+3$ (pendenza $1$, quota $3$ all’origine).

Una funzione può passare a sinistra vicino a $y=-1$, divergere attorno a $x=2$, e a destra crescere seguendo la retta $y=x+3$. La soluzione non è unica (l’asintoto orizzontale a sinistra e quello obliquo a destra possono coesistere perché valgono su rami diversi).

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Asintoto · Asintoto obliquo
Competenze: Disegnare grafico · Interpretare limiti
Tipo di esercizio: Costruzione grafico