Rapporto di polinomi all'infinito

Testo

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{5x^2+2}$.

Soluzione

Forma $\infty/\infty$. Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado ($2$): raccogliamo $x^2$: $\frac{3x^2-x+1}{5x^2+2} = \frac{x^2\left(3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(5+\frac{2}{x^2}\right)} = \frac{3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{5+\frac{2}{x^2}}.$ Per $x\to+\infty$ i termini con $1/x$ e $1/x^2$ tendono a $0$, quindi il limite è il rapporto dei coefficienti di testa: $\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{5x^2+2} = \boxed{\frac{3}{5}}.$

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Forme indeterminate · Gerarchia degli infiniti
Competenze: Calcolare limiti
Tipo di esercizio: Calcolo limite