Tre limiti: potenza, notevole, gerarchia

Testo

Calcola i seguenti limiti. $\text{a)}\ \lim_{x\to1^+}x^{x}\qquad \text{b)}\ \lim_{x\to1^-}\frac{\sin(x-1)}{x-1}\qquad \text{c)}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{3\ln x-x^2+2}{2x^2-3x^3+\cos x}$

Soluzione

a) La funzione $x^{x}=e^{x\ln x}$ è continua per $x>0$; quindi $\lim_{x\to1^+}x^{x}=1^{1}=1.$

b) Posto $t=x-1\to0^-$: $\dfrac{\sin t}{t}\to 1$ (limite notevole). Dunque il limite è $1.$

c) Confronto dei gradi: al numeratore il termine dominante è $-x^2$ (grado $2$), al denominatore $-3x^3$ (grado $3$). Poiché il denominatore cresce più rapidamente, $\frac{-x^2}{-3x^3}=\frac{1}{3x}\to 0.$

$\boxed{a=1,\ b=1,\ c=0}$

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Forme indeterminate
Competenze: Calcolare limiti
Tipo di esercizio: Calcolo limite