Sei limiti: polinomi, notevoli, radici

Testo

Calcola i seguenti limiti. $\text{a)}\ \lim_{x\to0^+}\frac{3x-2x^2}{x-2x^3}\qquad \text{b)}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x-2x^2}{x-2x^3}$ $\text{c)}\ \lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x^2)}{1-\cos(2x)}\qquad \text{d)}\ \lim_{x\to0^+}x\ln(x^4)$ $\text{e)}\ \lim_{x\to0^+}\frac{1-\sqrt{1+2x}}{1-\sqrt{1+x}}\qquad \text{f)}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{1-\sqrt{1+2x}}{1-\sqrt{1+x}}$

Soluzione

a) Raccogliamo $x$: $\dfrac{x(3-2x)}{x(1-2x^2)}=\dfrac{3-2x}{1-2x^2}\xrightarrow{x\to0^+}\dfrac{3}{1}=3.$

b) Termini dominanti $\dfrac{-2x^2}{-2x^3}=\dfrac{1}{x}\to 0$ per $x\to+\infty$.

c) Sviluppi: $\sin(x^2)\sim x^2$ e $1-\cos(2x)\sim\dfrac{(2x)^2}{2}=2x^2$. Quindi $\dfrac{x^2}{2x^2}=\dfrac12.$

d) $x\ln(x^4)=4\,x\ln x$. Poiché $x\ln x\to 0$ per $x\to0^+$, il limite è $0$.

e) Sviluppi: $\sqrt{1+2x}\sim 1+x$, numeratore $\sim -x$; $\sqrt{1+x}\sim 1+\dfrac{x}{2}$, denominatore $\sim -\dfrac{x}{2}$. Rapporto $\dfrac{-x}{-x/2}=2.$

f) Per $x\to+\infty$: $\sqrt{1+2x}\sim\sqrt{2x}=\sqrt2\,\sqrt x$ e $\sqrt{1+x}\sim\sqrt x$. Rapporto $\dfrac{-\sqrt2\,\sqrt x}{-\sqrt x}=\sqrt2.$

$\boxed{a=3,\ b=0,\ c=\tfrac12,\ d=0,\ e=2,\ f=\sqrt2\approx1{,}414}$

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Forme indeterminate
Competenze: Calcolare limiti
Tipo di esercizio: Calcolo limite