Esempi con le funzioni equivalenti

Esempio — Sostituzione al primo ordine

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{3x}{x} = 3.$ Qui $\sin(3x)\sim 3x$ (con $\square = 3x\to 0$), sostituzione lecita perché $\sin(3x)$ è un fattore.

Esempio — Quando serve il secondo ordine

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}.$ L’approssimazione $e^x-1\approx x$ non basta: darebbe $0/0$, perché $e^x-1-x$ è una somma in cui il termine di primo ordine si cancella. Serve il secondo ordine: $e^x \approx 1+x+\dfrac{x^2}{2}$, da cui $e^x-1-x\approx \dfrac{x^2}{2}$, e il limite vale $\dfrac{1}{2}$.

Il confronto tra i due esempi mostra la regola pratica: si sostituisce al primo ordine quando la funzione è un fattore isolato; si sale al secondo ordine quando i termini di primo ordine si elidono in una somma.

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Forme indeterminate · Funzioni equivalenti
Competenze: Calcolare limiti