Le proporzioni di Galileo con i numeri dispari

Testo

Galileo osservò che $\frac{1}{3}=\frac{1+3}{5+7}=\frac{1+3+5}{7+9+11}=\cdots$ Verifica la relazione $\dfrac{1+3+5+7}{9+11+13+15}$ e dimostra in generale che la somma dei primi $k$ numeri dispari, divisa per la somma dei $k$ dispari successivi, vale sempre $\frac13$.

Soluzione

Nel caso $k=4$: numeratore $1+3+5+7=16$, denominatore $9+11+13+15=48$, e $\frac{16}{48}=\frac13$. In generale la somma dei primi $k$ dispari è $1+3+\cdots+(2k-1)=k^2$. La somma dei primi $2k$ dispari è $(2k)^2=4k^2$, quindi la somma dei $k$ dispari successivi è $4k^2-k^2=3k^2$. Il rapporto è $\frac{k^2}{3k^2} = \boxed{\frac{1}{3}},$ indipendente da $k$.

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Progressione aritmetica · Successione
Metodi: Progressione aritmetica somma
Competenze: Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo numerico