Il cinquantesimo numero non quadrato

Testo

Considera la successione degli interi positivi che non sono quadrati perfetti: $2,3,5,6,7,8,10,\dots$ (si saltano $1,4,9,16,\dots$). Qual è il $50$-esimo termine?

Soluzione

Fino a un numero $N$ i quadrati perfetti sono $\lfloor\sqrt N\rfloor$. Cerchiamo $N$ tale che i non quadrati fino a $N$ siano esattamente $50$, cioè $N-\lfloor\sqrt N\rfloor=50$. Proviamo $N=57$: i quadrati $\le 57$ sono $1,4,9,16,25,36,49$, cioè $7$; allora i non quadrati $\le 57$ sono $57-7=50$, e $57$ non è un quadrato. Dunque $a_{50} = \boxed{57}.$ (In generale il $k$-esimo non quadrato è $k+\{\sqrt k\,\}$ arrotondato all’intero più vicino: $50+\text{round}(\sqrt{50})=50+7=57$.)

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Quadrato perfetto · Successione
Competenze: Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Calcolo numerico