La scala di Theon per approssimare radice di due

Testo

La scala di Theon costruisce approssimazioni di $\sqrt2$: da una frazione $\frac{a}{b}$ passa a $\frac{a+2b}{a+b}$, che approssima meglio. Partendo da $\frac{1}{1}$, applica la regola tre volte. Quale frazione ottieni? Confrontala con $\sqrt2$.

Soluzione

Applichiamo $\frac{a}{b}\mapsto\frac{a+2b}{a+b}$: $\frac{1}{1}\ \mapsto\ \frac{1+2}{1+1}=\frac{3}{2}\ \mapsto\ \frac{3+4}{3+2}=\frac{7}{5}\ \mapsto\ \frac{7+10}{7+5}=\frac{17}{12}.$ Dopo tre passi si ottiene $\boxed{\dfrac{17}{12}}\approx 1{,}41667$, molto vicino a $\sqrt2\approx 1{,}41421$.

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Numero irrazionale · Successione
Competenze: Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo numerico