Teorema delle successioni monotone limitate

Il legame tra monotonia, limitatezza ed esistenza del limite è espresso da un teorema fondamentale, che garantisce la convergenza senza dover calcolare il limite.

Teorema — Successioni monotone limitate

Una successione monotona e limitata ammette sempre limite finito. Più precisamente:

• $(a_n)$ crescente e limitata superiormente $\Rightarrow$ $a_n\to\sup_n a_n$ (un numero finito).
• $(a_n)$ decrescente e limitata inferiormente $\Rightarrow$ $a_n\to\inf_n a_n$.

Osservazione — Una successione monotona ha sempre limite

Una successione monotona ha sempre limite (finito o infinito): se cresce ed è limitata superiormente $\to$ limite finito; se cresce e non è limitata superiormente $\to +\infty$. Il comportamento è speculare per quelle decrescenti.

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Monotonia · Successione limitata
Metodi: Successione monotonia teorema
Competenze: Dimostrare