Piramide retta a base quadrata volume superficie e angoli

Testo

Una piramide retta a base quadrata $ABCD$ e vertice $V$ ha spigolo di base $8$ e apotema della faccia laterale $5$.

(a) Calcola il volume.

(b) Calcola la superficie totale.

(c) Determina l’angolo tra le facce laterali e la base.

(d) Determina l’angolo $A\hat BV$.

(e) Determina il raggio della sfera inscritta (che poggia sulla base ed è tangente alle facce laterali).

Soluzione

L’apotema di base (metà del lato) è $4$, quindi l’altezza della piramide è $h=\sqrt{5^2-4^2}=3$.

(a) $V=\tfrac13\cdot64\cdot3=64$.

(b) $S=64+4\cdot\left(\tfrac12\cdot8\cdot5\right)=64+80=144$.

(c) L’angolo diedro tra faccia laterale e base ha tangente $\tfrac{h}{4}=\tfrac34$, quindi $\varphi\approx36{,}87°$.

(d) Lo spigolo laterale è $\overline{VB}=\sqrt{h^2+(4\sqrt2)^2}=\sqrt{41}\approx6{,}403$. Nel triangolo isoscele $ABV$ (con $\overline{AB}=8$ e $\overline{VA}=\overline{VB}=\sqrt{41}$), per il teorema del coseno: $\cos(A\hat BV)=\dfrac{\overline{AB}^2+\overline{VB}^2-\overline{VA}^2}{2\,\overline{AB}\,\overline{VB}}=\dfrac{64}{16\sqrt{41}}=\dfrac{4}{\sqrt{41}}\approx0{,}625\Rightarrow A\hat BV\approx51{,}34°$.

(e) La sfera inscritta, tangente a tutte le facce, ha raggio $r=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{192}{144}=\dfrac43\approx1{,}333$. $\boxed{V=64;\ S=144;\ \varphi\approx36{,}87°;\ A\hat BV\approx51{,}34°;\ r=\tfrac43\approx1{,}33}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Angolo diedro · Apotema · Piramide · Sfera inscritta · Superficie · Volume
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico