Cubo tagliato, cubottaedro e tetraedro regolare

Testo

Un cubo $ABCDEFGH$ ha la diagonale $AG=6$. a) Determina lo spigolo del cubo. b) Si tagliano tutti gli $8$ vertici congiungendo i punti medi degli spigoli che vi concorrono: determina il volume del solido residuo. c) In alternativa si tagliano i vertici $A,C,F,H$ lungo le diagonali delle facce: dimostra che si ottiene un tetraedro regolare e trovane il volume.

Soluzione

a) La diagonale del cubo è $a\sqrt3$, quindi $a=\dfrac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3\approx3{,}464$. b) Ogni taglio asporta un tetraedro d’angolo con tre spigoli perpendicolari lunghi $\dfrac{a}{2}=\sqrt3$, di volume $\dfrac{1}{6}(\sqrt3)^{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Con $8$ vertici si toglie $4\sqrt3$; poiché $V_{\text{cubo}}=a^{3}=24\sqrt3$, resta $24\sqrt3-4\sqrt3=20\sqrt3\approx34{,}64$ (un cubottaedro). c) I vertici $B,D,E,G$ formano un tetraedro con spigolo pari alla diagonale di faccia $a\sqrt2=2\sqrt6$; è regolare e ha volume $\dfrac{V_{\text{cubo}}}{3}=8\sqrt3\approx13{,}86$. $\boxed{\,a=2\sqrt3\approx3{,}46,\quad V_{\text{cubott}}=20\sqrt3\approx34{,}64,\quad V_{\text{tetr}}=8\sqrt3\approx13{,}86\,}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Cubo · Diagonale · Poliedri regolari · Tetraedro regolare · Volume
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico