Sfera inscritta in un cilindro equilatero

Testo

Una sfera è inscritta in un cilindro retto (tangente alle due basi e alla superficie laterale). Il cilindro ha raggio $5$ cm. Determina il rapporto fra la superficie totale del cilindro e quella della sfera, e il rapporto fra i loro volumi.

Soluzione

La sfera ha raggio $5$ cm; il cilindro è equilatero con altezza $h=2\cdot5=10$ cm. Superfici: $S_\text{cil}=2\pi r(r+h)=2\pi\cdot5\cdot15=150\pi$; $\ S_\text{sfera}=4\pi\cdot25=100\pi$. $\frac{S_\text{cil}}{S_\text{sfera}}=\frac{150\pi}{100\pi}=\frac32.$ Volumi: $V_\text{cil}=\pi\cdot25\cdot10=250\pi$; $\ V_\text{sfera}=\dfrac43\pi\cdot125=\dfrac{500\pi}{3}$. $\frac{V_\text{cil}}{V_\text{sfera}}=\frac{250\pi}{\tfrac{500\pi}{3}}=\frac32.$ (Teorema di Archimede.) $\boxed{\dfrac{S_\text{cil}}{S_\text{sfera}}=\dfrac{V_\text{cil}}{V_\text{sfera}}=\dfrac32}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Cilindro · Sfera inscritta · Superficie · Volume
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico