Volume di una piramide da superficie totale e rapporto

Testo

Una piramide quadrangolare regolare ha superficie totale $225$ cm$^2$ e lo spigolo di base è $\dfrac83$ dell’altezza. Determina lo spigolo di base e il volume.

Soluzione

Sia $a$ lo spigolo di base e $h=\dfrac38 a$ l’altezza. L’apotema di base è $\dfrac a2$; l’apotema di faccia è $\sqrt{h^2+\left(\tfrac a2\right)^2}=\sqrt{\tfrac{9}{64}a^2+\tfrac14a^2}=\sqrt{\tfrac{25}{64}a^2}=\tfrac58 a.$ Superficie laterale $=\dfrac12(4a)\cdot\dfrac58a=\dfrac54a^2$; superficie totale $=a^2+\dfrac54a^2=\dfrac94a^2=225$: $a^2=100\Rightarrow a=10,\quad h=\tfrac38\cdot10=3{,}75.$ Volume: $V=\dfrac13\cdot100\cdot3{,}75=125$ cm$^3$. $\boxed{a=10\ \text{cm};\ V=125\ \text{cm}^3}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Apotema · Piramide · Volume
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico