Volume di un parallelepipedo dalle aree delle facce

Testo

Un parallelepipedo rettangolo ha superficie totale $108$ cm$^2$. Delle tre facce concorrenti in uno stesso vertice, una è $\dfrac23$ di un’altra e la metà della terza. Determina il volume.

Soluzione

Siano $F_1,F_2,F_3$ le tre facce concorrenti, con $F_1=\dfrac23F_2$ e $F_1=\dfrac12F_3$, cioè $F_2=\dfrac32F_1$ e $F_3=2F_1$. La superficie totale è $2(F_1+F_2+F_3)=108\Rightarrow F_1+F_2+F_3=54$: $F_1\left(1+\tfrac32+2\right)=\tfrac92F_1=54\ \Rightarrow\ F_1=12,\ F_2=18,\ F_3=24.$ Il volume di un parallelepipedo rettangolo è la radice del prodotto delle tre facce: $V=\sqrt{F_1F_2F_3}=\sqrt{12\cdot18\cdot24}=\sqrt{5184}=72\ \text{cm}^3.$ $\boxed{V=72\ \text{cm}^3}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Parallelepipedo · Superficie · Volume
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico