Piramide sezionata da un piano parallelo

Testo

Una piramide retta $P$ a base quadrata di spigolo $4$ e altezza $3$ viene tagliata da un piano parallelo alla base a distanza $x$ da essa; $P'$ è la parte al di sopra del taglio. a) Con $x=1{,}8$, calcola volume e superficie totale di $P$ e $P'$. b) Determina il raggio della sfera inscritta in $P$. c) Trova $x$ affinché la piramide $P'$ e il tronco abbiano volumi uno il triplo dell’altro.

Soluzione

a) $V_P=\dfrac13\cdot4^{2}\cdot3=16$. L’apotema di faccia è $\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$, quindi $S_P=16+4\cdot\dfrac{4\sqrt{13}}{2}=16+8\sqrt{13}\approx44{,}84$. La piramide $P'$ è simile con rapporto $k=\dfrac{3-1{,}8}{3}=0{,}4$: $V_{P'}=k^{3}V_P\approx1{,}02$, $S_{P'}=k^{2}S_P\approx7{,}17$. b) Per una piramide la sfera inscritta ha raggio $r=\dfrac{3V}{S_{\text{tot}}}=\dfrac{48}{16+8\sqrt{13}}\approx1{,}07$. c) $V_{P'}=k^{3}V_P$ con $k=\dfrac{3-x}{3}$. Se il tronco è il triplo di $P'$: $16-V_{P'}=3V_{P'}\Rightarrow V_{P'}=4\Rightarrow k^{3}=\tfrac14\Rightarrow x=3\left(1-\sqrt[3]{1/4}\right)\approx1{,}11$. (Nell’altro caso $x\approx0{,}27$.) $\boxed{\,V_P=16,\ S_P=16+8\sqrt{13}\approx44{,}84,\ r\approx1{,}07,\ x\approx1{,}11\,}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Piramide · Sfera inscritta · Similitudine solidi · Superficie · Volume
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico