Cono, angolo assiale e cilindro inscritto

Testo

Un cono ha altezza $5$ e raggio di base $1$. a) Determina volume e superficie totale. b) Un piano perpendicolare alla base e passante per il vertice $V$ interseca la circonferenza di base in $A$ e $B$: quanto vale l’angolo $A\hat V B$? c) Inscrivi un cilindro (base inferiore sulla base del cono, base superiore sulla superficie laterale) con volume pari a $\dfrac{1}{10}$ di quello del cono: trova raggio e altezza.

Soluzione

a) $V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{5\pi}{3}\approx5{,}236$. Apotema $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{26}$; $S=\pi r^{2}+\pi r l=\pi(1+\sqrt{26})\approx19{,}16$. b) Il piano passa per l’asse: $A,B$ sono estremi di un diametro, $\overline{AB}=2$ e $\overline{VA}=\overline{VB}=\sqrt{26}$. Allora $A\hat V B=2\arctan\dfrac{r}{h}=2\arctan\dfrac15\approx22{,}62^\circ$. c) Per similitudine, a quota $y$ il raggio del cono è $\rho=1-\dfrac{y}{5}$, quindi $V_{\text{cil}}=\pi\rho^{2}y=5\pi\rho^{2}(1-\rho)$. Imponendo $V_{\text{cil}}=\dfrac{V}{10}=\dfrac{\pi}{6}$ si ha $\rho^{2}(1-\rho)=\dfrac{1}{30}$, che dà $\rho\approx0{,}205$ ($y\approx3{,}97$) oppure $\rho\approx0{,}963$ ($y\approx0{,}18$). $\boxed{\,V=\tfrac{5\pi}{3}\approx5{,}24,\quad S=\pi(1+\sqrt{26})\approx19{,}16,\quad A\hat V B\approx22{,}62^\circ\,}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Cilindro inscritto · Cono · Similitudine · Superficie · Volume
Funzioni: Coseno
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico