Sfera e piano sezione e piano tangente

Testo

Data la sfera $S:\ x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z-10=0$ e il piano $\pi:\ 2x-y+2z-3=0$.

(a) Determina centro $C$ e raggio $r$.

(b) Calcola $d(C,\pi)$ e stabilisci se $\pi$ è secante, tangente o esterno rispetto a $S$.

(c) Determina raggio e centro del cerchio sezione.

(d) Verifica che $P(5,-2,1)\in S$ e scrivi il piano tangente a $S$ in $P$.

Soluzione

(a) Completando i quadrati: $(x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=16\Rightarrow C(1,-2,1),\ r=4$.

(b) $d(C,\pi)=\dfrac{|2+2+2-3|}{3}=1$; poiché $d<r$, il piano è secante.

(c) Il raggio della sezione è $\sqrt{16-1}=\sqrt{15}\approx3{,}873$; il centro della sezione è $C'=C-d\cdot\dfrac{\vec n}{|\vec n|}=\left(\tfrac13,-\tfrac53,\tfrac13\right)$.

(d) Per $P(5,-2,1)$: $(5-1)^2+(-2+2)^2+(1-1)^2=16$ ✓, dunque $P\in S$. Il vettore normale al piano tangente in $P$ è $\overrightarrow{CP}=(4,0,0)$, quindi il piano tangente è $x=5$. $\boxed{C(1,-2,1),\ r=4;\ d=1\ (\text{secante});\ \rho_{\text{sez}}=\sqrt{15}\approx3{,}87,\ C'\left(\tfrac13,-\tfrac53,\tfrac13\right);\ \text{tangente in } P:\ x=5}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Cerchio sezione · Piano secante · Piano tangente · Sfera
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico