Luogo equidistante da quattro punti

Testo

Dimostra che, dati quattro punti $A,B,C,D$ nello spazio non complanari, esiste un solo punto equidistante da tutti e quattro, e che tale punto è il centro della sfera passante per $A,B,C,D$.

Soluzione

Il luogo dei punti equidistanti da due punti $A,B$ è il piano assiale del segmento $AB$ (piano perpendicolare ad $AB$ nel suo punto medio). I punti equidistanti da $A,B,C$ (con $A,B,C$ non allineati) stanno sull’intersezione di due piani assiali: una retta perpendicolare al piano $ABC$ e passante per il circocentro del triangolo $A\overset{\triangle}{B}C$. Imponendo l’equidistanza anche da $D$ si aggiunge un terzo piano assiale; poiché $D$ non è complanare con $A,B,C$, questo piano non contiene la retta e la interseca in un solo punto $O$. Tale $O$ è equidistante da $A,B,C,D$ e quindi è il centro della sfera per i quattro punti. $\boxed{\,O=\text{intersezione dei piani assiali}=\text{centro della sfera per }A,B,C,D\,}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Circocentro · Luogo geometrico · Piano assiale · Sfera
Competenze: Dimostrare · Geometria analitica
Tipo di esercizio: Problema geometrico