Equazione di secondo grado e radici n-esime in C

Testo

Risolvi in $\mathbb{C}$:

(a) $z^{2}+2z+i=0$ e rappresenta le soluzioni sul piano di Gauss.

(b) Determina tutte le radici cubiche di $-2+2i$.

(c) Determina tutte le radici quinte di $32i$ e osserva la disposizione dei vettori corrispondenti.

Soluzione

(a) Il discriminante è $\Delta=2^2-4i=4-4i$, quindi occorre calcolare $\sqrt{4-4i}=2\sqrt{1-i}$. Scrivendo $1-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}$, si ottiene $\sqrt{1-i}=2^{1/4}e^{-i\pi/8}\approx1{,}099-0{,}455i$. Le soluzioni sono quindi $z=-1\pm\sqrt{1-i}\approx\{0{,}099-0{,}455i,\ -2{,}099+0{,}455i\}.$ Nel piano di Gauss corrispondono a due punti simmetrici rispetto al punto $(-1,0)$.

(Nota: la soluzione riportata sul compito indica $z=-1\pm2i$, ma quel valore risolve l’equazione $z^2+2z+5=0$ e non quella assegnata $z^2+2z+i=0$; il risultato corretto per l’equazione data è quello calcolato sopra.)

(b) Si scrive $-2+2i=2\sqrt2\,e^{i3\pi/4}$. Il modulo delle radici cubiche è $(2\sqrt2)^{1/3}=\sqrt2$ e gli argomenti sono $\dfrac{3\pi/4+2k\pi}3$ per $k=0,1,2$: $k=0:\ \sqrt2\,e^{i\pi/4}=1+i;\qquad k=1:\ \sqrt2\,e^{i11\pi/12};\qquad k=2:\ \sqrt2\,e^{i19\pi/12}.$ Si verifica che $(1+i)^3=-2+2i$, come richiesto.

(c) Si scrive $32i=32e^{i\pi/2}$. Il modulo delle radici quinte è $32^{1/5}=2$ e gli argomenti sono $\dfrac{\pi/2+2k\pi}5$ per $k=0,1,2,3,4$: $2e^{i\pi/10},\quad 2e^{i\pi/2}=2i,\quad 2e^{i9\pi/10},\quad 2e^{i13\pi/10},\quad 2e^{i17\pi/10}.$ I cinque vettori corrispondenti sono i vertici di un pentagono regolare centrato nell’origine.

$\boxed{z=-1\pm\sqrt{1-i};\qquad \sqrt[3]{-2+2i}=\{1+i,\ \sqrt2\,e^{i11\pi/12},\ \sqrt2\,e^{i19\pi/12}\};\qquad \sqrt[5]{32i}=\{2e^{i\pi/10},\,2i,\,2e^{i9\pi/10},\,2e^{i13\pi/10},\,2e^{i17\pi/10}\}}$

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Forma esponenziale · Piano di argand gauss · Radici n esime
Metodi: Numeri complessi polare
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione