Equazioni e radici n-esime nel campo complesso

Testo

Risolvi in $\mathbb{C}$:

(a) $z^{2}+4z+13=0$ e rappresenta le soluzioni sul piano di Gauss.

(b) Determina tutte le radici cubiche di $8$ e verifica che i vettori corrispondenti formano angoli uguali tra loro.

(c) Determina tutte le soluzioni di $z^{4}+16=0$ in forma algebrica.

Soluzione

(a) Il discriminante è $\Delta=4^2-4\cdot13=16-52=-36$, quindi $\sqrt\Delta=6i$ e $z=\frac{-4\pm6i}{2}=-2\pm3i.$ Le due soluzioni corrispondono ai punti $(-2,3)$ e $(-2,-3)$ del piano di Gauss, simmetrici rispetto all’asse reale.

(b) Scrivendo $8=8e^{i0}$, le radici cubiche sono $2e^{i2k\pi/3}$ per $k=0,1,2$: $z_0=2,\qquad z_1=2e^{i2\pi/3}=-1+\sqrt3\,i,\qquad z_2=2e^{i4\pi/3}=-1-\sqrt3\,i.$ I tre vettori hanno tutti modulo $2$ e i loro argomenti differiscono di $2\pi/3=120°$: sono quindi i vertici di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio $2$.

(c) Si ha $z^4=-16=16e^{i\pi}$, quindi le quattro soluzioni sono $2e^{i(\pi/4+k\pi/2)}$ per $k=0,1,2,3$: $\sqrt2+\sqrt2\,i,\quad -\sqrt2+\sqrt2\,i,\quad -\sqrt2-\sqrt2\,i,\quad \sqrt2-\sqrt2\,i.$

$\boxed{z=-2\pm3i;\qquad \sqrt[3]{8}=\{2,\ -1+\sqrt3 i,\ -1-\sqrt3 i\};\qquad \sqrt[4]{-16}=\{\pm\sqrt2\pm\sqrt2\,i\}}$

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Forma esponenziale · Piano di argand gauss · Radici n esime
Metodi: Numeri complessi polare
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione