Teorema fondamentale dell'algebra

Il teorema fondamentale dell’algebra afferma che nei complessi ogni polinomio di grado $n$ ha esattamente $n$ radici (contate con molteplicità): $\mathbb{C}$ è algebricamente chiuso. Da qui si estendono le relazioni di Vieta a polinomi di grado qualsiasi e si arriva alle identità di Newton per le somme di potenze delle radici.

• Teorema fondamentale dell’algebra
• Relazioni di Vieta generalizzate
• Identità di Newton per le somme di potenze

The fundamental theorem of algebra states that over the complex numbers every polynomial of degree $n$ has exactly $n$ roots (counted with multiplicity): $\mathbb{C}$ is algebraically closed. From here Vieta’s relations extend to polynomials of any degree and one arrives at Newton’s identities for the power sums of the roots.

• Fundamental theorem of algebra
• Generalised Vieta’s relations
• Newton’s identities for power sums

L’introduzione dei numeri complessi risolve in modo definitivo il problema della risolubilità delle equazioni polinomiali.

Teorema — Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni polinomio non costante a coefficienti complessi di grado $n$ ammette esattamente $n$ radici in $\mathbb{C}$, contate con molteplicità.

Conseguenza. Mentre nei reali l’equazione $x^2+1=0$ non ha soluzioni, e in generale un’equazione di secondo grado con $\Delta<0$ è impossibile, nei complessi ogni equazione polinomiale di secondo grado ha due soluzioni (eventualmente coincidenti). La formula risolutiva $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ continua a valere, con la radice quadrata di un numero negativo intesa in $\mathbb{C}$: $\sqrt{-d}=i\sqrt{d}$.

Esempio — Un'equazione di secondo grado in $\mathbb{C}$

Risolvere $x^2+2x+5=0$ in $\mathbb{C}$. $\Delta = 4 - 20 = -16, \qquad \sqrt{\Delta} = 4i, \qquad x = \frac{-2\pm 4i}{2} = -1\pm 2i.$

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Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Numero complesso · Teorema fondamentale algebra
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule

The introduction of complex numbers definitively solves the problem of the solvability of polynomial equations.

Theorem — The fundamental theorem of algebra

Every non-constant polynomial with complex coefficients of degree $n$ admits exactly $n$ roots in $\mathbb{C}$, counted with multiplicity.

Consequence. Whereas in the reals the equation $x^2+1=0$ has no solutions, and in general a quadratic equation with $\Delta<0$ is impossible, in the complex numbers every quadratic polynomial equation has two solutions (possibly coincident). The solving formula $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ still holds, with the square root of a negative number understood in $\mathbb{C}$: $\sqrt{-d}=i\sqrt{d}$.

Example — A quadratic equation in $\mathbb{C}$

Solve $x^2+2x+5=0$ in $\mathbb{C}$. $\Delta = 4 - 20 = -16, \qquad \sqrt{\Delta} = 4i, \qquad x = \frac{-2\pm 4i}{2} = -1\pm 2i.$

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Topics: Complex numbers
Concepts: Complex number · Fundamental theorem of algebra
Skills: Solve equations · Use formulae

Per le equazioni di secondo grado conosciamo le relazioni di Vieta $x_1+x_2=-b/a$, $x_1x_2=c/a$. Il teorema fondamentale dell’algebra, garantendo $n$ radici, permette di estenderle a un polinomio qualsiasi: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \qquad a_n\ne 0.$

Proprietà — Relazioni di Vieta generalizzate

Siano $r_1,r_2,\ldots,r_n$ le $n$ radici in $\mathbb{C}$ di $P$ (contate con molteplicità). Allora: $\begin{aligned} \sigma_1 = \sum_{i} r_i &= -\frac{a_{n-1}}{a_n}, \\ \sigma_2 = \sum_{i<j} r_i r_j &= +\frac{a_{n-2}}{a_n}, \\ \sigma_3 = \sum_{i<j<k} r_i r_j r_k &= -\frac{a_{n-3}}{a_n}, \\ &\,\vdots \\ \sigma_n = r_1 r_2\cdots r_n &= (-1)^n \frac{a_0}{a_n}. \end{aligned}$ In generale $\sigma_k = (-1)^k a_{n-k}/a_n$.

Idea della dimostrazione. Dalla fattorizzazione $P(x)=a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$, si sviluppa il prodotto e si confrontano i coefficienti di $x^{n-k}$: a destra si ottiene esattamente $(-1)^k a_n\,\sigma_k$, a sinistra $a_{n-k}$. ∎

Esempio — Polinomio di terzo grado

$P(x)=x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$, con radici $1,2,3$. $\begin{aligned} \sigma_1 &= 1+2+3 = 6 = -a_2/a_3 = -(-6)/1 \;✓ \\ \sigma_2 &= 1\cdot 2 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3 = 11 = a_1/a_3 \;✓ \\ \sigma_3 &= 1\cdot 2\cdot 3 = 6 = -a_0/a_3 = -(-6)/1 \;✓ \end{aligned}$

Esempio — Senza calcolare le radici

Dato $P(x)=2x^4-5x^3+x^2+7x-3$, calcolare $r_1+r_2+r_3+r_4$ e $r_1r_2r_3r_4$ senza risolvere: $\sigma_1 = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}, \qquad \sigma_4 = (+1)\cdot\frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}.$ Funziona anche quando non sappiamo trovare le radici esplicitamente.

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Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Relazioni di vieta · Teorema fondamentale algebra
Metodi: Vieta generalizzate
Competenze: Dimostrare · Usare formule
Persone: François Viète (Vieta)

For quadratic equations we know Vieta’s relations $x_1+x_2=-b/a$, $x_1x_2=c/a$. The fundamental theorem of algebra, guaranteeing $n$ roots, allows us to extend them to an arbitrary polynomial: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \qquad a_n\ne 0.$

Property — Generalised Vieta's relations

Let $r_1,r_2,\ldots,r_n$ be the $n$ roots in $\mathbb{C}$ of $P$ (counted with multiplicity). Then: $\begin{aligned} \sigma_1 = \sum_{i} r_i &= -\frac{a_{n-1}}{a_n}, \\ \sigma_2 = \sum_{i<j} r_i r_j &= +\frac{a_{n-2}}{a_n}, \\ \sigma_3 = \sum_{i<j<k} r_i r_j r_k &= -\frac{a_{n-3}}{a_n}, \\ &\,\vdots \\ \sigma_n = r_1 r_2\cdots r_n &= (-1)^n \frac{a_0}{a_n}. \end{aligned}$ In general $\sigma_k = (-1)^k a_{n-k}/a_n$.

Idea of the proof. From the factorisation $P(x)=a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$, one expands the product and compares the coefficients of $x^{n-k}$: on the right one obtains exactly $(-1)^k a_n\,\sigma_k$, on the left $a_{n-k}$. ∎

Example — Cubic polynomial

$P(x)=x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$, with roots $1,2,3$. $\begin{aligned} \sigma_1 &= 1+2+3 = 6 = -a_2/a_3 = -(-6)/1 \;✓ \\ \sigma_2 &= 1\cdot 2 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3 = 11 = a_1/a_3 \;✓ \\ \sigma_3 &= 1\cdot 2\cdot 3 = 6 = -a_0/a_3 = -(-6)/1 \;✓ \end{aligned}$

Example — Without computing the roots

Given $P(x)=2x^4-5x^3+x^2+7x-3$, compute $r_1+r_2+r_3+r_4$ and $r_1r_2r_3r_4$ without solving: $\sigma_1 = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}, \qquad \sigma_4 = (+1)\cdot\frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}.$ It works even when we cannot find the roots explicitly.

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Methods: Vieta generalizzate
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Osservazione — Calcolo di somme di potenze: identità di Newton

Definite $p_k = r_1^k+r_2^k+\cdots+r_n^k$ (somma delle potenze $k$-esime delle radici), valgono le ricorrenze di Newton: $p_1 = \sigma_1, \quad p_2 = \sigma_1 p_1 - 2\sigma_2, \quad p_3 = \sigma_1 p_2 - \sigma_2 p_1 + 3\sigma_3,\ \ldots$ Permettono di calcolare $\sum r_i^k$ senza conoscere le radici: utilissimo nei problemi olimpici.

Le identità di Newton collegano le somme di potenze $p_k$ alle funzioni simmetriche elementari $\sigma_k$ (le stesse delle relazioni di Vieta). Per la genesi storica di queste ricorrenze, come ponte fra l’algebra simbolica seicentesca e la teoria moderna delle funzioni simmetriche, si veda Stillwell.

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Persone: Isaac Newton

Remark — Computing power sums: Newton's identities

Having defined $p_k = r_1^k+r_2^k+\cdots+r_n^k$ (the sum of the $k$-th powers of the roots), Newton’s recurrences hold: $p_1 = \sigma_1, \quad p_2 = \sigma_1 p_1 - 2\sigma_2, \quad p_3 = \sigma_1 p_2 - \sigma_2 p_1 + 3\sigma_3,\ \ldots$ They allow one to compute $\sum r_i^k$ without knowing the roots: extremely useful in olympiad problems.

Newton’s identities connect the power sums $p_k$ to the elementary symmetric functions $\sigma_k$ (the same as in Vieta’s relations). For the historical origin of these recurrences, as a bridge between seventeenth-century symbolic algebra and the modern theory of symmetric functions, see Stillwell.

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