Le radici cubiche di 8

Esempio — Le radici cubiche di 8

Poiché $8 = 8\cdot e^{i\cdot 0}$, applicando la formula delle radici $n$-esime con $n=3$ e $\sqrt[3]{8}=2$ si ottiene: $w_0 = 2\,e^{i\cdot 0} = 2,\quad w_1 = 2\,e^{i\cdot 2\pi/3} = 2\Bigl(-\tfrac12 + i\tfrac{\sqrt 3}{2}\Bigr) = -1 + i\sqrt{3},\quad w_2 = 2\,e^{i\cdot 4\pi/3} = -1 - i\sqrt{3}.$ Le tre radici formano un triangolo equilatero centrato nell’origine.

Le tre radici cubiche di 8 sono i vertici di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio $\sqrt[3]{8}=2$.

In generale, le $n$ radici $n$-esime di un numero complesso sono i vertici di un poligono regolare a $n$ lati, inscritto nel cerchio di raggio $\sqrt[n]{\rho}$. Nell’esempio, $n=3$ dà un triangolo equilatero.

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Forma esponenziale · Piano di argand gauss · Radici n esime
Competenze: Calcolare · Usare formule