Inversione dell'albero

Bayes può essere letto come un’operazione geometrica sull’albero: la trasformazione che porta dall’albero ”$B$ sapendo $A$” all’albero ”$A$ sapendo $B$”.

In sintesi — Algoritmo a tre passi

Dato l’albero “diretto” con primo livello $\{A_i\}$ e secondo $\{B,\overline{B}\}$ sotto ciascun $A_i$, e con i rami pesati come $P(A_i)$ (primo) e $P(B\mid A_i)$, $P(\overline{B}\mid A_i)$ (secondo):

1. Congiunte sui percorsi: per ogni foglia, $P(A_i\cap B) = P(A_i)\cdot P(B\mid A_i)$ (prodotto lungo il cammino).
2. Marginalizzazione: somma sui percorsi che terminano in $B$: $P(B) = \sum_i P(A_i\cap B)$.
3. Ramo invertito: $P(A_i\mid B) = \dfrac{P(A_i\cap B)}{P(B)}$.

Costruendo l’albero “invertito” con primo livello $\{B,\overline{B}\}$ e secondo $\{A_i\}$, i rami al primo livello sono $P(B), P(\overline{B})$ e quelli al secondo livello sono i $P(A_i\mid B), P(A_i\mid \overline{B})$ appena calcolati.

Esempio — Albero diretto vs albero invertito, malattia rara

Riprendiamo l’esempio: $P(M)=0,001$, $P(T^+\mid M)=0,99$, $P(T^+\mid \overline{M})=0,02$.

Albero diretto (primo livello: malattia; secondo: test):

Albero diretto: prima la malattia, poi l’esito del test condizionato alla malattia.

Passo 1 — congiunte: $P(M\cap T^+)=0,00099,\ P(\overline{M}\cap T^+)=0,01998,\ P(M\cap T^-)=0,00001,\ P(\overline{M}\cap T^-)=0,97902.$ Passo 2 — marginalizzazione: $P(T^+)=0,00099+0,01998=0,02097,\qquad P(T^-)=1-P(T^+)=0,97903.$ Passo 3 — rami invertiti: $P(M\mid T^+)=\tfrac{0,00099}{0,02097}\approx 0,047,\quad P(\overline{M}\mid T^+)\approx 0,953,$ $P(M\mid T^-)=\tfrac{0,00001}{0,97903}\approx 10^{-5},\quad P(\overline{M}\mid T^-)\approx 1-10^{-5}.$

Albero invertito (primo livello: test; secondo: malattia):

Albero invertito: prima l’esito del test, poi la malattia condizionata al test. Stesse foglie, condizionamento opposto.

L’albero invertito contiene esattamente la stessa informazione del diretto (le foglie hanno le stesse congiunte $P(A_i\cap B_j)$), ma legge i dati con il condizionamento opposto: ora la domanda “dato il test, qual è la prob. della malattia” è immediata. È la versione visiva di Bayes.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Diagramma albero · Inversione albero · Probabilita condizionata · Teorema di bayes
Metodi: Bayes · Inversione albero bayes · Prob totale
Competenze: Calcolo probabilita · Modellizzare