Teorema della probabilità totale

Una volta che l’albero è disegnato, la probabilità marginale dell’evento del secondo livello (ad esempio $B$) si ottiene in modo geometricamente trasparente: si sommano le probabilità dei percorsi che terminano in $B$. Nessuna formula in più: è già tutto sul disegno.

Teorema — Probabilità totale, formulazione classica

Sia $\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}$ una partizione dello spazio campionario (eventi a due a due incompatibili, la cui unione copre tutto). Allora per ogni evento $B$: $\boxed{P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)\cdot P(B\mid A_i).}$

Dimostrazione — Visiva, via percorsi dell'albero

Costruiamo l’albero con primo livello $\{A_1,\ldots,A_n\}$ e con $B,\overline{B}$ al secondo livello sotto ciascuna $A_i$. Le foglie "$\ldots\cap B$" sono disgiunte a due a due (esiti diversi del primo esperimento). Per l’additività su eventi incompatibili: $P(B) = P\!\Bigl(\bigcup_{i=1}^n (A_i\cap B)\Bigr) = \sum_{i=1}^n P(A_i\cap B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)\cdot P(B\mid A_i),$ dove nell’ultimo passaggio si applica la formula del prodotto a ciascun cammino. ∎

Esempio — Test diagnostico, $P(T^+)$ via percorsi

Riprendiamo l’albero della malattia rara. I percorsi che terminano in $T^+$ sono due, evidenziati in rosso:

I due percorsi rossi terminano entrambi in $T^+$: la probabilità totale di risultare positivi è la loro somma.

Sommando i due percorsi rossi: $P(T^+) = \underbrace{0,001\cdot 0,99}_{\text{percorso }M\to T^+} + \underbrace{0,999\cdot 0,02}_{\text{percorso }\overline{M}\to T^+} \approx 0,021.$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
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