Paradosso di Bertrand

Esempio — Enunciato

Scegli a caso una corda di una circonferenza di raggio $1$. Qual è la probabilità che sia più lunga del lato del triangolo equilatero inscritto (lunghezza $\sqrt 3$)?

Tre risposte ugualmente legittime, a seconda di come si interpreta “a caso”:

1. Estremi a caso sulla circonferenza: fissato un estremo $A$, l’altro estremo $B$ ha angolo uniforme in $[0,2\pi)$. La corda supera $\sqrt 3$ se $B$ cade nell’arco opposto di lunghezza $2\pi/3$. Quindi $P=1/3$.
2. Punto medio uniforme nel cerchio: la corda è definita dal suo punto medio $M$. La corda è $>\sqrt 3$ se $M$ è nel cerchietto centrale di raggio $1/2$. Area $\pi(1/2)^2$ su area $\pi\cdot 1^2$: $P=1/4$.
3. Distanza dal centro uniforme in $[0,1]$: la corda è individuata dalla sua distanza $d$ dal centro. Si ha $|\text{corda}|=2\sqrt{1-d^2}>\sqrt 3\iff d<1/2$. Probabilità $1/2$.

Osservazione — Morale del paradosso

“A caso” non è una nozione neutra: senza specificare la distribuzione che genera l’evento, la domanda non ha una risposta unica. È lo stesso problema dei sondaggi visto nell’Appendice di statistica descrittiva: chi non specifica il metodo di campionamento ha già perso metà della battaglia statistica. Da qui la regola di Esty: in matematica “a caso” è quasi sempre un’omissione, mai un’informazione.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Distribuzione di probabilita · Paradosso di bertrand · Probabilita geometrica
Competenze: Calcolo probabilita · Ragionare per casi