Paradosso di Monty Hall

Sei a un game show: tre porte chiuse. Dietro una c’è un’auto, dietro le altre due una capra. Scegli la porta $1$. Il conduttore, che sa cosa c’è dietro ogni porta, apre la porta $3$ e mostra una capra. Ti chiede: “vuoi tenere la $1$ o cambiare per la $2$?”.

L’intuizione dice: due porte chiuse, scelta $50$–$50$, non importa cambiare. Sbagliato. Cambiare raddoppia la probabilità di vincere ($2/3$ contro $1/3$).

Proprietà — Spiegazione via Bayes

Sia $A_i =$ “l’auto è dietro la porta $i$”, $B =$ “il conduttore apre la $3$”. Per simmetria $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=1/3$. Conoscendo le scelte del conduttore:

• $P(B\mid A_1) = 1/2$ (auto dietro $1$: il conduttore apre $2$ o $3$ a caso, $50\%$);
• $P(B\mid A_2) = 1$ (auto dietro $2$: il conduttore deve aprire la $3$, non può aprire la $2$);
• $P(B\mid A_3) = 0$ (non aprirebbe la porta dell’auto).

Probabilità totale: $P(B) = \tfrac13\cdot\tfrac12 + \tfrac13\cdot 1 + \tfrac13\cdot 0 = 1/2$. Applichiamo Bayes: $P(A_1\mid B) = \frac{P(B\mid A_1)P(A_1)}{P(B)} = \frac{(1/2)(1/3)}{1/2} = \frac{1}{3}, \qquad P(A_2\mid B) = \frac{1\cdot(1/3)}{1/2} = \frac{2}{3}.$

Osservazione — Perché l'intuizione sbaglia

Il conduttore non sceglie a caso: ha informazione che noi non abbiamo. La sua scelta condizionale “trasferisce” la probabilità $1/3$ della porta scartata sulla porta $2$, che diventa $2/3$. La porta $1$ resta ferma a $1/3$ perché la nostra scelta iniziale è fissata prima che il conduttore agisca, quindi non riceve aggiornamento. È lo stesso meccanismo dei test diagnostici: non basta contare le porte chiuse, bisogna sapere come si è arrivati allo stato attuale. La narrativa classica del paradosso (con il dibattito popolare scatenato dalla risposta di Marilyn vos Savant negli anni ‘90) è raccontata da Dunham (Cap. 11).

Esempio — Simulazione con $99$ porte

Versione amplificata: $100$ porte, $1$ auto, $99$ capre. Scegli la $1$; il conduttore apre $98$ porte mostrando $98$ capre, lasciandoti scegliere tra la $1$ e una porta-misteriosa. La stessa logica dice: $P(\text{vincita se cambi}) = 99/100$. Esplicitato in questa forma, il paradosso sparisce.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Paradosso di monty hall · Probabilita condizionata · Teorema di bayes
Metodi: Bayes · Prob condizionata
Competenze: Calcolo probabilita · Ragionare per casi