Combinatoria e probabilità

Quando lo spazio campione ha esiti equiprobabili, calcolare una probabilità diventa un problema di conteggio: basta contare i casi favorevoli e i casi possibili. Entrano allora in gioco le formule della combinatoria — combinazioni semplici, disposizioni con ripetizione, principio del conteggio — e la scelta della formula giusta dipende da due domande: l’ordine conta? le ripetizioni sono ammesse? Questa sezione raccoglie alcuni esempi classici, dal lotto alla cassaforte alle carte da gioco.

• Casi favorevoli su casi possibili
• Esempio — Cinquina al lotto
• Esempio — Cassaforte
• Esempio — Corsa campestre
• Esempio — Almeno un fante

When the sample space has equally likely outcomes, computing a probability becomes a counting problem: it is enough to count the favourable cases and the possible cases. The formulae of combinatorics then come into play — simple combinations, arrangements with repetition, the counting principle — and the choice of the right formula depends on two questions: does the order matter? are repetitions allowed? This section collects some classic examples, from the lottery to the safe to playing cards.

• Favourable cases over possible cases
• Example — Five-number lottery win
• Example — Safe
• Example — Cross-country race
• Example — At least one jack

Osservazione — Dallo spazio equiprobabile alla combinatoria

Quando lo spazio campionario ha esiti equiprobabili, la probabilità diventa un problema di combinatoria: $P(E)=\frac{\#\,\text{casi favorevoli}}{\#\,\text{casi possibili}}.$ Le quattro formule del calcolo combinatorio (permutazioni, disposizioni, combinazioni, disposizioni con ripetizione) si applicano spessissimo: è fondamentale chiedersi sempre se l’ordine conta e se le ripetizioni sono ammesse.

Storia — Laplace e la probabilità classica

La formula “casi favorevoli su casi possibili” ha un padre illustre: Pierre-Simon de Laplace (1749–1827), che nella monumentale Théorie analytique des probabilités (1812) e nel divulgativo Essai philosophique sur les probabilités (1814) la elevò a definizione ufficiale, oggi detta probabilità classica. Per Laplace la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, purché questi siano tutti “ugualmente possibili” (Boyer; Katz). Questa definizione, elegante ma un po’ circolare — usa l’idea di equiprobabilità per definire la probabilità — sarebbe stata poi superata dall’impostazione assiomatica del Novecento.

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Calcolo combinatorio · Casi favorevoli casi possibili · Probabilita
Competenze: Calcolo combinatorio · Calcolo probabilita
Persone: Pierre-Simon Laplace

Observation — From the equiprobable space to combinatorics

When the sample space has equiprobable outcomes, probability becomes a problem of combinatorics: $P(E)=\frac{\#\,\text{favourable cases}}{\#\,\text{possible cases}}.$ The four formulae of combinatorics (permutations, arrangements, combinations, arrangements with repetition) apply very often: it is essential always to ask whether order matters and whether repetitions are allowed.

History — Laplace and classical probability

The formula “favourable cases over possible cases” has an illustrious father: Pierre-Simon de Laplace (1749–1827), who in his monumental Théorie analytique des probabilités (1812) and in the popular Essai philosophique sur les probabilités (1814) raised it to an official definition, today called classical probability. For Laplace the probability of an event is the ratio between the number of favourable cases and the number of possible cases, provided these are all “equally possible” (Boyer; Katz). This definition, elegant but somewhat circular — it uses the idea of equiprobability to define probability — would later be superseded by the axiomatic approach of the twentieth century.

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Topics: Probability
Concepts: Combinatorics · Favourable cases over possible cases · Probability
Skills: Combinatorics · Probability calculation
People: Pierre-Simon de Laplace

Esempio — Lotto, cinquina vincente

Qual è la probabilità di indovinare una cinquina al lotto, scegliendo $5$ numeri tra $90$?

I casi totali sono le combinazioni semplici di $90$ presi $5$ a $5$ (l’ordine non conta):

$\binom{90}{5} = \frac{90\cdot 89\cdot 88\cdot 87\cdot 86}{5!} = 43\,949\,268.$

I casi favorevoli sono $1$ (la cinquina vincente). Quindi

$P = \frac{1}{43\,949\,268} \approx 2,3\cdot 10^{-8},$

circa una possibilità su $44$ milioni.

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Combinazioni semplici · Probabilita
Metodi: Combinazioni semplici
Competenze: Calcolo combinatorio · Calcolo probabilita

Example — Lottery, winning five-number combination

What is the probability of guessing a five-number combination at the lottery, choosing $5$ numbers out of $90$?

The total cases are the simple combinations of $90$ taken $5$ at a time (order does not matter):

$\binom{90}{5} = \frac{90\cdot 89\cdot 88\cdot 87\cdot 86}{5!} = 43\,949\,268.$

The favourable cases are $1$ (the winning five-number combination). So

$P = \frac{1}{43\,949\,268} \approx 2,3\cdot 10^{-8},$

roughly one chance in $44$ million.

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Topics: Probability
Concepts: Simple combinations · Probability
Methods: Simple combinations
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Esempio — Cassaforte, ladro paziente

Una cassaforte ha una combinazione di $5$ cifre tra $0$ e $9$.

(a) La probabilità di indovinarla al primo tentativo è $1/10^5 = 1/100\,000$: i casi totali sono le disposizioni con ripetizione, cioè $10^5$.

(b) Se si fanno $1000$ tentativi tutti diversi, la probabilità di azzeccarla almeno una volta si calcola con un argomento combinatorio. I casi totali sono i modi di scegliere $1000$ tentativi distinti tra $10^5$, cioè $\binom{10^5}{1000}$. I casi favorevoli sono quelli in cui la combinazione corretta è tra i $1000$ tentativi scelti, cioè $\binom{10^5-1}{1000-1}$. Semplificando:

$P = \frac{\binom{10^5-1}{10^3-1}}{\binom{10^5}{10^3}} = \frac{10^3}{10^5} = \frac{1}{100}.$

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Combinazioni semplici · Disposizioni con ripetizione · Probabilita
Metodi: Combinazioni semplici · Disposizioni ripetizione
Competenze: Calcolo combinatorio · Calcolo probabilita

Example — Safe, patient burglar

A safe has a combination of $5$ digits from $0$ to $9$.

(a) The probability of guessing it on the first attempt is $1/10^5 = 1/100\,000$: the total cases are the arrangements with repetition, that is $10^5$.

(b) If $1000$ attempts are made, all different, the probability of getting it at least once is computed with a combinatorial argument. The total cases are the ways of choosing $1000$ distinct attempts out of $10^5$, that is $\binom{10^5}{1000}$. The favourable cases are those in which the correct combination is among the $1000$ chosen attempts, that is $\binom{10^5-1}{1000-1}$. Simplifying:

$P = \frac{\binom{10^5-1}{10^3-1}}{\binom{10^5}{10^3}} = \frac{10^3}{10^5} = \frac{1}{100}.$

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Methods: Simple combinations · Arrangements with repetition
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Esempio — Campestre: scegliere gruppi

In una classe ci sono $8$ ragazzi e $13$ ragazze; il professore di ginnastica deve scegliere $3$ ragazzi e $5$ ragazze per la corsa campestre. In quanti modi può farlo?

Le scelte “ragazzi” e “ragazze” sono indipendenti, perciò per il principio del conteggio i modi totali sono il prodotto dei modi di ciascuna scelta. L’ordine all’interno di ogni gruppo non conta (si forma un sottoinsieme), quindi sono combinazioni semplici:

$\binom{8}{3}\cdot \binom{13}{5} = 56\cdot 1287 = 72\,072.$

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Combinazioni semplici · Principio del conteggio
Metodi: Combinazioni semplici · Principio conteggio
Competenze: Calcolo combinatorio

Example — Cross-country: choosing groups

In a class there are $8$ boys and $13$ girls; the PE teacher must choose $3$ boys and $5$ girls for the cross-country race. In how many ways can he do it?

The “boys” and “girls” choices are independent, so by the counting principle the total number of ways is the product of the ways for each choice. The order within each group does not matter (a subset is formed), so they are simple combinations:

$\binom{8}{3}\cdot \binom{13}{5} = 56\cdot 1287 = 72\,072.$

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Methods: Simple combinations · Counting principle
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Esempio — 32 carte: regola del complementare

Da un mazzo di $32$ carte si estraggono $5$ carte. Qual è la probabilità di pescare almeno un fante?

Strategia. Il complementare di “almeno un fante” è “nessun fante”. Conviene calcolare i modi senza fanti e sottrarli dai modi totali:

$\#\,\text{modi totali} = \binom{32}{5}, \qquad \#\,\text{modi senza fanti} = \binom{28}{5}.$

$P(\text{almeno un fante}) = 1 - \frac{\binom{28}{5}}{\binom{32}{5}}.$

Il caso “almeno uno” si calcola quasi sempre tramite il complementare: l’enumerazione diretta (esattamente $1$ fante $+$ esattamente $2$ $+\ldots+$ esattamente $4$) richiederebbe invece $4$ termini.

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Metodi: Combinazioni semplici · Complementare prob
Competenze: Calcolo combinatorio · Calcolo probabilita

Example — 32 cards: the complementary rule

From a deck of $32$ cards, $5$ cards are drawn. What is the probability of drawing at least one jack?

Strategy. The complement of “at least one jack” is “no jack”. It is convenient to count the ways with no jacks and subtract them from the total number of ways:

$\#\,\text{modi totali} = \binom{32}{5}, \qquad \#\,\text{modi senza fanti} = \binom{28}{5}.$

$P(\text{almeno un fante}) = 1 - \frac{\binom{28}{5}}{\binom{32}{5}}.$

The “at least one” case is almost always computed via the complement: direct enumeration (exactly $1$ jack $+$ exactly $2$ $+\ldots+$ exactly $4$) would instead require $4$ terms.

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