Caso ambiguo del teorema dei seni

Testo

In un triangolo si hanno $a=8$, $b=11$ e l’angolo $\widehat A=32^\circ$ opposto ad $a$. Determina i possibili valori dell’angolo $\widehat B$.

Soluzione

Per il teorema dei seni $\dfrac{a}{\sin\widehat A}=\dfrac{b}{\sin\widehat B}$, da cui $\sin\widehat B=\frac{b\sin\widehat A}{a}=\frac{11\sin 32^\circ}{8}\approx\frac{11\cdot 0{,}5299}{8}\approx 0{,}7286.$ Poiché $\sin\widehat B<1$ e $b>a$, esistono due angoli compatibili: $\widehat B_1=\arcsin(0{,}7286)\approx 46{,}79^\circ,\qquad \widehat B_2=180^\circ-46{,}79^\circ\approx 133{,}21^\circ.$ Entrambi danno $\widehat A+\widehat B<180^\circ$, quindi entrambi i triangoli esistono. $\boxed{\,\widehat B_1\approx 46{,}79^\circ\quad\lor\quad \widehat B_2\approx 133{,}21^\circ\,}$

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Caso ambiguo · Teorema dei seni
Funzioni: Seno
Metodi: Triangolo risoluzione
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere triangoli
Tipo di esercizio: Problema geometrico